极大值原理（Pontryagin Maximum Principle）

概述

Pontryagin 于 1956 年提出的极大值原理将最优控制问题转化为 Hamilton 系统的求解，通过协态变量和 Hamiltonian 的逐点极大化条件，为受约束的动态优化问题提供了优美而强大的必要条件。

历史背景：冷战期间弹道导弹和航天器轨迹优化是核心工程挑战。经典变分法无法处理控制变量有约束的实际问题。Pontryagin（14 岁失明的拓扑学家）从微分方程定性理论角度攻克此问题。
核心贡献：通过引入协态变量（costate variables）和 Hamiltonian 函数，将最优控制问题转化为 Hamilton 系统。极大值原理给出最优解的必要条件：最优控制必须在每个时刻使 Hamiltonian 达到最大值。
与动态规划的对偶：Pontryagin 极大值原理和 Bellman 动态规划是最优控制理论的两大支柱——前者从微分方程视角出发，后者从递归决策视角出发，数学上对偶，计算和应用上各有优势。
Bang-bang 控制：极大值原理自然导出了 bang-bang 控制理论——最优控制往往在允许集合的边界上取值。